Question

已知橢圓：.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）；（2）直線與圓相切.

試題分析：（1）把橢圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定，，利用求得離心率；（2）設(shè)點(diǎn)，，其中，由，即，用、表示，當(dāng)或分別根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，與圓的半徑比較，從而判斷直線與圓的位置關(guān)系.
（1）由題意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以，，從而，
所以.
（2）直線與圓相切，證明如下：
設(shè)點(diǎn)，，其中，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053316812513.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，代入橢圓的方程得，
此時(shí)直線與圓相切.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
即，
圓心到直線的距離為，又，，
故.
故此直線與圓相切.