Question

已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，試判斷隨著的轉(zhuǎn)動(dòng)，直線與的斜率的乘積是否為定值？說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）直線與的斜率的乘積是定值．

試題分析：（1）由橢圓的離心率可得，又點(diǎn)滿足方程可得，可解得，，所以知橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程是，，，可得，，可得直線方程是，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理代入最終可化為．
解：（1）∵，∴，，
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，
解得，，∴橢圓的方程是；  
（2）設(shè)直線方程是，，，
則，  ，直線的斜率是，
直線方程是，
由，得，
則，
∴，
直線與的斜率的乘積是定值．