Question

 

已知數列中，，，其前項和滿足.令.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若，求證：（）；

（Ⅲ）令（），求同時滿足下列兩個條件的所有的值：①對于任意正整數，都有；②對于任意的，均存在，使得時，.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解（Ⅰ）由題意知即……1′

∴

……3′

檢驗知、時，結論也成立，故.…………4′

法二：

法三：

（Ⅱ）由于

故.…………9′

（Ⅲ）（ⅰ）當時，由（Ⅱ）知：，即條件①滿足；又，

∴.

取等于不超過的最大整數，則當時，.…10′

（ⅱ）當時，∵，，∴，∴.

∴.

由（ⅰ）知存在，當時，，

故存在，當時，，不滿足條件. …12′

（ⅲ）當時，∵，，∴，∴.

∴.

取，若存在，當時，，則.

∴矛盾. 故不存在，當時，.不滿足條件.

綜上所述：只有時滿足條件，故.…………14′