Question

[已知數列{a_n}滿足：a1=-

1

2

，a₂=1，數列{

1

an

}為等差數列；數列{b_n}中，S_n為其前n項和，且b1=

3

4

，4n•Sn+3n+1=3•4n．
（1）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）記A_n=a_na_n+1，求數列{A_n}的前n項和S；
（3）設數列{c_n}滿足cn=

bn

an

，T_n為數列{c_n}的前n項和，求x_n=T_n+1-2T_n+T_n-1的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據給出的數列{b_n}的前n項和所滿足的等式，求出S_n，然后由bn=

S1(n=1) Sn-Sn-1(n≥2)

求出通項，繼而可說明數列{b_n}是等比數列；
（2）由數列{

1

an

}為等差數列求出數列{a_n}的通項公式，然后運用裂項法求數列{A_n}的前n項和S；
（3）把a_n，b_n的通項公式代入求c_n，把x_n=T_n+1-2T_n+T_n-1變形后換上c_n，得到關于n的函數式，寫出X_n+1，與X_n作差后分析差式的單調性，從而得到X_n的最大值．

解答：解：（1）由4n•Sn+3n+1=3•4n得，Sn=3-3•(

3

4

)n，當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=(

3

4

)n，又b1=

3

4

，故bn=(

3

4

)n，故數列{b_n}是等比數列；
（2）∵a1=-

1

2

，a2=1，∴

1

a1

=-2，

1

a2

=1，∴d=

1

a2

-

1

a1

=1-(-2)=3，∴

1

an

=-2+(n-1)•3=3n-5，則an=

1

3n-5

，
∴An=

1

(3n-5)(3n-2)

=

1

3

(

1

3n-5

-

1

3n-2

)，
∴S=

1

3

[(-

1

2

-1)+(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-5

-

1

3n-2

)]=

1

3

(-

1

2

-

1

3n-2

)=

-n

6n-4

；
（3）∵cn=(3n-5)•(

3

4

)n
∴xn=Tn+1-2Tn+Tn-1=(Tn+1-Tn)-(Tn-Tn-1)=cn+1-cn=(

3

4

)n(

14-3n

4

)，
xn+1-xn=(

3

4

)n+1(

11-3n

4

)-(

3

4

)n(

14-3n

4

)=(

3

4

)n(

3n-23

16

)，
故當n≤7時，{x_n}是遞減的，當n≥8時，{x_n}是遞增的，但n≥8時，x_n＜0
故x_n的最大值為x1=(

3

4

)•(

11

4

)=

33

16

．

點評：本題是等差數列和等比數列的綜合題，考查了裂項法對數列求和，（3）的解答運用函數思想，借助于函數的單調性分析出了函數取最大值時的n的值，該題是中檔以上難度題型．