Question

15、已知數列{a_n}中，S_n是其前n項和，若a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，且a_n+1a_n+2≠1，則

6

，S₂₀₁₀=

4020

．

Answer 1

分析：由a₁=1，a₂=2和后面的等式可知第三項是3，得到第一個結論，我們這樣考慮，當第二、三項是2、3時，第四項又是1，當第三、四項是3、1時，第五項又是2，以此類推，可知數列是周期為3的數列，結果可得．

解答：解：∵a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，
∴a₃₌₃，
∴a₁+a₂+a₃=6，
∵a₂=2，a₃=3，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，
∴a₄=1，
以此類推得到從第五項開始依次是2、3、1、2、3、1…
∴S₂₀₁₀=670×6=4020，
故答案為：6，4020．

點評：該題的解題思路是從所給條件出發，通過觀察、試驗、分析、歸納、概括、猜想出一般規律，著重考查了歸納、概括和數學變換的能力．