Question

16、已知數列{a_n}中，S_n是其前n項和，若a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2且a_n+1a_n+2≠1，則S₂₀₁₁=

4021

．

Answer 1

分析：先由遞推關系式以及前兩項一步步代入，求出數列的前幾項可以得出數列{a_n}是周期為3的一個循環數列，即可求出S₂₀₁₁的值．

解答：解：因為a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2且，
所以有a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃?a₃=3；
a₂•a₃•a₄=a₂+a₃+a₄?a₄=1；
a₃•a₄•a₅=a₃+a₄+a₅?a₅=2；
a₄•a₅•a₆=a₄+a₅+a₆?a₆=3；
…
故數列{a_n}是周期為3的一個循環數列．
所以S₂₀₁₁=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₁
=670×（a₁+a₂+a₃）+a_3×670+1
=670×（1+2+3）+1
=4021．
故答案為：4021．

點評：本題主要考查數列的遞推關系式的應用以及求數列的和，考查計算能力，屬于基礎題目．