Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為3的正三角形，側棱AA₁垂直于底面ABC，AA₁=，D是CB延長線上一點，且BD=BC.
（1）求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的大小；
（3）求三棱錐C₁-ABB₁的體積。

Answer 1

（I），又，
四邊形是平行四邊形， 。
又平面，平面，
直線平面
（Ⅱ）過作于，連結
平面，，
是二面角的平面角。
，是的中點，。
在中， 
，即二面角的大小為60°
Ⅲ）過作于，
平面，平面平面，
平面且為點到平面的距離。
，
。

分析：（1）根據三棱柱的性質，可以證出BC∥DB，結合線面平行的判定定理可以證出直線BC∥平面AB1D；
（2）過B作BE⊥AD于E，連接EB，根據三垂線定理得∠BEB是二面角B-AD-B的平面角．在Rt△BBE中，利用三角函數的定義可算出∠B1EB=60°，即二面角B-AD-B的大小為60°．
（3）過A作AF⊥BC于F，利用面面垂直的性質定理，可得AF⊥平面BBCC，即AF等于點A到平面BCB的距離．利用等邊三角形計算出AF的長為 ，結合三角形BCB的面積等于 ，用錐體體積公式可以算出三棱錐C-ABB的體積．
解答：解：（1）∵CB∥CB，且BD=BC=BC，
∴四邊形BDBC是平行四邊形，可得BC∥DB．
又BD?平面AB1D，BC?平面ABD，
∴直線BC∥平面ABD
（2）過作于，連結
平面，，
是二面角的平面角。
，是的中點，。
在中， 
，即二面角的大小為60°
(3）過作于，
平面，平面平面，
平面且為點到平面的距離。
，
。
點評：本題以一個特殊正三棱柱為載體，適當加以變化，求三棱錐的體積并求二面角的大小，著重考查了空間線面平行的判定、面面垂直的判定與性質等知識點，屬于中檔題．