【題目】設(shè)函數(shù)
， 
.
（1）討論
的單調(diào)性；
（2）當
時，記
的最小值為
，證明： 
.
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】試題分析：（1）函數(shù)
的定義域為
，對函數(shù)
求導(dǎo)得
，對實數(shù)
分
分兩種情況討論，得出單調(diào)性；（2）由（1）知， 
， 
， 
，所以
單調(diào)遞減，又
， 
，所以存在
，使得
，當
時， 
， 
單調(diào)遞增；當
時， 
， 
單調(diào)遞減；所以
，再證明出
。
試題解析（1）
的定義域為
，
，
當
時， 
， 
在
上單調(diào)遞增；
當
時，當
， 
， 
單調(diào)遞減；
當
， 
， 
單調(diào)遞增；
綜上，當
時， 
在
上單調(diào)遞增；
當
時， 
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知， 
，
即
.
解法一： 
， 
，
∴
單調(diào)遞減，
又
， 
，所以存在
，使得
，
∴當
時， 
， 
單調(diào)遞增；
當
時， 
， 
單調(diào)遞減；
∴
，又
，即
， 
，
∴
，令
，則
在
上單調(diào)遞增，
又
，所以
，∴
.
解法二：要證
，即證
，即證： 
，
令
，則只需證
，
，
當
時， 
， 
單調(diào)遞減；
當
時， 
， 
單調(diào)遞增；
所以
，
所以
，即
.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】搶“微信紅包”已經(jīng)成為中國百姓歡度春節(jié)時非常喜愛的一項活動．小明收集班內(nèi)20名同學(xué)今年春節(jié)期間搶到紅包金額
（元）如下（四舍五入取整數(shù)）：
102 52 41 121 72
162 50 22 158 46
43 136 95 192 59
99 22 68 98 79
對這20個數(shù)據(jù)進行分組，各組的頻數(shù)如下：
（Ⅰ）寫出m，n的值，并回答這20名同學(xué)搶到的紅包金額的中位數(shù)落在哪個組別；
（Ⅱ）記C組紅包金額的平均數(shù)與方差分別為
、
，E組紅包金額的平均數(shù)與方差分別為
、
，試分別比較
與
、
與
的大小；（只需寫出結(jié)論）
（Ⅲ）從A，E兩組所有數(shù)據(jù)中任取2個，求這2個數(shù)據(jù)差的絕對值大于100的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，側(cè)棱
底面
， 
為棱
中點． 
， 
， 
．
（I）求證： 
平面
．
（II）求證： 
平面
．
（III）在棱
的上是否存在點
，使得平面
平面
？如果存在，求此時
的值；如果不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成
小塊地，在總共
小塊地中．隨機選
小塊地種植品種甲，另外
小塊地種植品種乙．
（
）假設(shè)
，求第一大塊地都種植品種甲的概率．
（
）試驗時每大塊地分成
小塊．即
，試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各個小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位
）如下表：
品種甲 |
|
|
|
|
|
品種乙 |
|
|
|
|
|
分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應(yīng)該種植哪一品種？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)g(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分圖象如圖所示，將函數(shù)g(x)的圖象保持縱坐標不變，橫坐標向右平移
個單位長度后得到函數(shù)f(x)的圖象．求：
(1)函數(shù)f(x)在
上的值域；
(2)使f(x)≥2成立的x的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：
記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）, 
表示購機的同時購買的易損零件數(shù).
（Ⅰ）若
=19,求y與x的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于
”的頻率不小于0.5,求
的最小值；
（Ⅲ）假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？
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