Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側棱底面， 為棱中點． ， ， ．

（I）求證： 平面．

（II）求證： 平面．

（III）在棱的上是否存在點，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）見解析；（III）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）連結AB1交A1B于O，連結OM，可證OM∥B1C，又OM平面A1BM，B1C平面A1BM，即可證明B1C∥平面A1BM．

（Ⅱ）易證AA1⊥BM，又可證BM⊥AC1，由AC=2，AM=1，，可求∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°，從而可證A1M⊥AC1，從而證明AC1⊥平面A1BM．

（Ⅲ）當點N為BB1中點時，可證平面AC1N⊥平面AA1C1C，設AC1中點為D，連結DM，DN，可證BM∥DN，由BM⊥平面ACC1A1，可證DN⊥平面ACC1A1，即可證明平面AC1N⊥平面ACC1A1．

試題解析：

（I）證明：連接交于點，

連接，

在中， ， 分別是， 中點，

∴．

又∵平面，

平面，

∴平面．

（II）∵底面，

平面，

∴，

又∵為棱中點，

，

∴，

∵點，

∴平面，

∴，

∵為中點， ，

∴，

又∵．

在與中，

，

∴，

∴，

∴，

∵點，

∴平面．

（III）存在點，當時成立，

設中點為，連接， ，

∵， 分別為， 中點，

∴，

∵為中點，

∴，

∴，

∵平面，

∴平面，

又∵平面．

∴平面平面．