Question

數列a_n的前n項和為S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數列a_n+3是等比數列，求出數列a_n的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列b_n的前n項和T_n；
（Ⅲ）判斷數列a_n中是否存在構成等差數列的三項？若存在，求出一組符合條件的項；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1=2a_n+3，整理可得判斷出數列a_n+3是等比數列，進而利用等比數列的通項公式求得a_n+3進而求得a_n．
（Ⅱ）把（1）中的a_n代入b_n中，進而利用錯位相減法和等差數列的求和公式求得前n項的和．
（Ⅲ）設存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差數列，根據等差中項的性質可知2a_p=a_s+a_r，利用（1）中的a_n展開得2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，進而根據2^p-s+1，2^r-s為偶數，而1+2^r-s為奇數，判斷出假設不成立．故可知不存在這樣的三項．
解答：解：（Ⅰ）因為S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
則a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，，
數列a_n+3是等比數列，a₁=S₁=3，a₁+3=6，a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3．
（Ⅱ），T_n=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ-（1+2++n），
令T_n^′=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①2T_n^′=2²+2•2³+3•2⁴++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得，-T_n^′=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-2（1-2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹，T_n^′=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
所以．
（Ⅲ）設存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差數列，則2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s為偶數，而1+2^r-s為奇數，
所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在滿足條件的三項．
點評：本題主要考查了數列的求和問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．