Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，a₂=6，a₃=11，且（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=An+B，n=1，2，3，…，其中A．B為常數．
（1）求A與B的值；
（2）證明：數列{a_n}為等差數列；
（3）證明：不等式

5amn

-

aman

＞1對任何正整數m，n都成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知知

-3S2-7S1=A+B 2S3-12S2=2A+B

，從而解得A=-20，B=-8．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=-20n-8，所以（5n-3）S_n+2-（5n+7）S_n+1=-20n-28．由此入手能夠推出數列{a_n}為等差數列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a_n=1+5（n-1）=5n-4，然后用分析法可以使用權命題得證．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得S₁=a₁=1，S₂=a₁+a₂=7，S₃=a₁+a₂+a₃=18
由（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=An+B，知

-3S2-7S1=A+B 2S3-12S2=2A+B

，即

A+B=-28 2A+B=-48

，
解得A=-20，B=-8．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=-20n-8①
所以（5n-3）S_n+2-（5n+7）S_n+1=-20n-28②
②-①得（5n-3）S_n+2-（10n-1）S_n+1+（5n+2）S_n=-20③
所以（5n+2）S_n+3-（10n+9）S_n+2+（5n+7）S_n+1=-20④
④-③得（5n+2）S_n+3-（15n+6）S_n+2+（15n+6）S_n+1-（5n+2）S_n=0．
因為a_n+1=S_n+1-S_n
所以（5n+2）a_n+3-（10n+4）a_n+2+（5n+7）a_n+1=0
因為（5n+2）≠0
所以a_n+3-2a_n+2+a_n+1=0
所以a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1，n≥1
又a₃-a₂=a₂-a₁=5
所以數列{a_n}為等差數列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a_n=1+5（n-1）=5n-4，
要證

5amn

-

aman

＞1
只要證5a_mn＞1+a_ma_n+2

aman

，
因為a_mn=5mn-4，a_ma_n=（5m-4）（5n-4）=25mn-20（m+n）+16，
故只要證5（5mn-4）＞1+25mn-20（m+n）+16+2

aman

，
即只要證20m+20n-37＞2

aman

，
因為2

aman

≤a_m+a_n=5m+5n-8＜5m+5n-8+（15m+15n-29）=20m+20n-37
所以命題得證．

點評：本題考查數列性質的綜合應用，解題時要注意計算能力的培養．