Question

數列{a_n}的前n項和為S_n=npa_n（n∈N^*）且a₁≠a₂，
（1）求常數p的值；
（2）證明：數列{a_n}是等差數列．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知若p=1時，a₁=a₂，與已知矛盾，故p≠1．則a₁=0．n=2時，（2p-1）a₂=0．所以p=

1

2

．
（2）由題設條件知

an

an-1

=

n-1

n-2

．則

an-1

an-2

=

n-2

n-3

，

a3

a2

=

2

1

．由此可知{a_n}是以a₂為公差，以a₁為首項的等差數列．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=pa₁，若p=1時，a₁+a₂=2pa₂=2a₂，
∴a₁=a₂，與已知矛盾，故p≠1．則a₁=0．
當n=2時，a₁+a₂=2pa₂，∴（2p-1）a₂=0．
∵a₁≠a₂，故p=

1

2

．
（2）由已知S_n=

1

2

na_n，a₁=0．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

na_n-

1

2

（n-1）a_n-1．
∴

an

an-1

=

n-1

n-2

．則

an-1

an-2

=

n-2

n-3

，

a3

a2

=

2

1

．
∴

an

a2

=n-1．∴a_n=（n-1）a₂，a_n-a_n-1=a₂．
故{a_n}是以a₂為公差，以a₁為首項的等差數列．

點評：本題為“S_n?a_n”的問題，體現了運動變化的思想．