Question

已知y=a^x （a＞0且a≠1）是定義在R上的單調遞減函數，記a的所有可能取值構成集合A；P（x，y）是橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上一動點，點P₁（x₁，y₁）與點P關于直線y=x+1對稱，記

y1-1

4

的所有可能取值構成集合B．若隨機地從集合A，B中分別抽出一個元素λ₁，λ₂，則λ₁＞λ₂的概率是

 

．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統計

分析：根據指數函數的性質以及直線和圓錐曲線的位置關系求出集合A，B，然后根據幾何概型的概率公式即可得到結論．

解答： 解：∵y=a^x （a＞0且a≠1）是定義在R上的單調遞減函數，∴0＜a＜1，
∴A={a|0＜a＜1}．
P₁（x₁，y₁）關于直線y=x+1的對稱點為P（y₁-1，x₁+1），
P是橢圓

x2

16

+

y2

9

=l上一動點，
∴-4≤y₁-1≤4，
即-1≤

y1-1

4

≤1，
設b=

y1-1

4

，則-1≤b≤1，
∴B={b|-1≤b≤1}．
∴隨機的從集合A，B中分別抽取一個元素λ₁，λ₂，則λ₁＞λ₂等價為

0＜λ1＜1 -1≤λ2≤1 λ1＞λ2

，
則對應的圖象如圖：
則λ₁＞λ₂的概率是

3

4

，
故答案為：

3

4

點評：本題主要考查幾何概型的概率計算，利用直線和圓錐曲線的位置關系求出集合A，B是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度非常大．