Question

【題目】如圖所示，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，則下列結論中正確的是__________．

①平面；

②平面平面；

③三棱錐的體積為定值；

④存在某個位置使得異面直線與成角.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F，且EF=，知：

在①中，由EF∥BD，且EF平面ABCD，BD平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正確；

在②中，連接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，

而BE面BDD1B1，BF面BDD1B1，∴AC⊥平面BEF，

∵AC平面ACF，∴面ACF⊥平面BEF，故②正確；

在③中，三棱錐E﹣ABF的體積與三棱錐A﹣BEF的體積相等，

三棱錐A﹣BEF的底面積和高都是定值，故三棱錐E﹣ABF的體積為定值，故③正確；

在④中，令上底面中心為O，當E與D1重合時，此時點F與O重合，

則兩異面直線所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1=300，

故存在某個位置使得異面直線AE與BF成角30°，故④正確．

故答案為：①②③④.