Question

(2013·天津模擬)已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n＝2a_n－2(n∈N^*)，數列{b_n}滿足b₁＝1，且點P(b_n，b_n＋1)(n∈N^*)在直線y＝x＋2上．
(1)求數列{a_n}，{b_n}的通項公式．
(2)求數列{a_n·b_n}的前n項和D_n．
(3)設c_n＝a_n·sin²－b_n·cos²(n∈N^*)，求數列{c_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

（1）a_n＝2a_n－1(n≥2)     b_n＝2n－1
（2）D_n＝(2n－3)2^n＋1＋6
（3）－2n²－n

(1)當n＝1時，a₁＝2，
當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2a_n－2a_n－1，
所以a_n＝2a_n－1(n≥2)，所以{a_n}是等比數列，公比為2，首項a₁＝2，所以a_n＝2ⁿ，
又點P(b_n，b_n＋1)(n∈N^*)在直線y＝x＋2上，所以b_n＋1＝b_n＋2，
所以{b_n}是等差數列，公差為2，首項b₁＝1，所以b_n＝2n－1．
(2)由(1)知a_n·b_n＝(2n－1)×2ⁿ，
所以D_n＝1×2¹＋3×2²＋5×2³＋7×2⁴＋…＋(2n－3)×2^n－1＋(2n－1)×2ⁿ，①
2D_n＝1×2²＋3×2³＋5×2⁴＋7×2⁵＋…＋(2n－3)×2ⁿ＋(2n－1)×2^n＋1．②
①－②得－D_n＝1×2¹＋2×2²＋2×2³＋2×2⁴＋…＋2×2ⁿ－(2n－1)×2^n＋1
＝2＋2×－(2n－1)×2^n＋1
＝(3－2n)2^n＋1－6，
則D_n＝(2n－3)2^n＋1＋6．
(3)c_n＝，
T_2n＝(a₁＋a₃＋…＋a_2n－1)－(b₂＋b₄＋…＋b_2n)
＝2＋2³＋…＋2^2n－1－[3＋7＋…＋(4n－1)]＝－2n²－n．