Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面平面，，，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） 見解析（2）

【解析】分析：(1)結(jié)合題中所給的條件，利用面面垂直的條件以及題中所給的特殊幾何圖形，得到相應(yīng)的垂直關(guān)系，之后借助于線面垂直來得到線線垂直.

(2)對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，再通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積求出二面角的大小，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在，否則存在.

詳解：（1）證明：連接，

∵，，∴△為等邊三角形，

又∵為中點(diǎn)，∴，

又∵，∴，

∵為矩形，∴，

又∵平面平面，平面平面 ，平面，

∴平面，

又∵平面，∴，

又∵，，

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）由（1）知平面，

∵、平面，

∴，，

又∵，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

設(shè)，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，

則即令，則，

由圖形知，平面的一個(gè)法向量，

由題意知，

即，即，

∵，∴．