Question

【題目】已知函數在處取得極值A，函數，其中…是自然對數的底數．

（1）求m的值，并判斷A是的最大值還是最小值；

（2）求的單調區間；

（3）證明：對于任意正整數n，不等式成立．

Answer 1

【答案】（1）；是最小值；（2）單調遞減區間是，單調遞增區間是；（3）證明過程見詳解.

【解析】

（1）先對函數求導，根據題意，得到，求出，研究函數單調性，即可判斷出結果；

（2）對函數求導，得到，令，對其求導，研究其單調性，即可判斷函數的單調性；

（3）先由（1）得時，恒成立，令，則，進而求和，即可得出結果.

（1）因為，，所以，

又在處取得極值，

則，即；所以，

由得；由得，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

因此在處取得最小值，即是最小值；

（2）由（1）得，

所以，

令，則，

因為，所以恒成立，

因此在上單調遞增；又，

所以，當時，，即；

當時，，即；

所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是；

（3）由（1）知，，

所以，當時，恒成立；

令，則，

因此

，

即，

因此.