Question

若數列{a_n}滿足：對任意n∈N^*，只有有限個正整數m，使得a_m＜n成立，記這樣的m的個數為（a_m）^*，則得到一悠閑的數列{（a_m）^*}，例如，若數列{a_n}是1，2，3，…，n，…，則得數列{（a_m）^*}是0，1，2，…，n-1，…，已知對任意的n∈N^*，a_n=n²，則（（a₂₀₁₅）^*）^*=（　　）

• A、2014²
• B、2014
• C、2015²
• D、2015

Answer 1

考點：等差數列的性質,等比數列的性質

專題：新定義,等差數列與等比數列

分析：由題設條件能推導出（（a₁）^*）^*=1，（（a₂）^*）^*=4，（（a₃）^*）^*=9，（（a₄）^*）^*=16，于是猜想：（（a_n）^*）^*=n²．由此能求出（（a₂₀₁₅）^*）^*．

解答：解：∵（a₁）^*=0，（a₂）^*=1，（a₃）^*=1，（a₄）^*=1，
（a₅）^*=2，（a₆）^*=2，（a₇）^*=2，（a₈）^*=2，（a₉）^*=2，
（a₁₀）^*=3，（a₁₁）^*=3，（a₁₂）^*=3，（a₁₃）^*=3，（a₁₄）^*=3，（a₁₅）^*=3，（a₁₆）^*=3，
∴（（a₁）^*）^*=1，（（a₂）^*）^*=4，（（a₃）^*）^*=9，（（a₄）^*）^*=16，
由此猜想：（（a_n）^*）^*=n²．
∴（（a₂₀₁₅）^*）^*=2015²．
故選：C．

點評：本題考查等差數列和等比數列的綜合，考查了數列的性質和應用，關鍵是對題意的理解，是中檔題．在選擇題中合理地進行猜想，往往能有效地簡化運算．