Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，常數）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為.

（1）寫出及直線的直角坐標方程，并指出是什么曲線；

（2）設是曲線上的一個動點，求點到直線的距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1），，表示以為圓心，為半徑的圓；（2）.

【解析】

(1)消去參數，即得的直角坐標方程，利用，，可將直線方程化為普通方程；

（2）計算點到直線的距離，再討論直線與曲線的位置關系，即可得到答案；

（1）消去參數，即得的直角坐標方程為，

所以，當時，表示以為圓心，為半徑的圓.

因為，

所以.

因為，，

所以直線的直角坐標方程為，即.

（2）圓心到直線的距離為，

若，即，圓與直線相交，點到直線的距離的最小值為0，

若，即時，則點到直線的距離的最小值為.

綜上所述，當時，圓與直線相交，點到直線的距離的最小值為0；

當時，則點到直線的距離的最小值為.