Question

（2007•崇明縣一模）在直角坐標(biāo)系xoy中，⊙O與直線x-

3

y=4相切，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，則

PA

•

PB

的取值范圍是

[-2，0）

．

Answer 1

分析：首先分析到題目（1）中圓是圓心在原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，由切線可直接求得半徑，即得到圓的方程．對于（2）根據(jù)圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，列出方程，再根據(jù)點(diǎn)P在圓內(nèi)求出取值范圍．

解答：解：（1）依題設(shè)，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線 x-

3

y=4的距離，
即 r=2，得圓O的方程為x²+y²=4
（2）不妨設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂由題意得A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，得

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x²+y²
x²-y²=2
由P在⊙O內(nèi)可得

x2+y2＜4  x2-y2=2

∴0≤y²＜1
∵

PA

•

PB

=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=x²+y²-4=2y²-2∈[-2，0）

點(diǎn)評：此題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及圓與直線交點(diǎn)問題，屬于綜合性試題，有一定的計(jì)算量，難易中等．