Question

曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=3sinθ

直線l：

x=2+t y=2-2t

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出曲線C與直線l的普通方程；
（Ⅱ）過曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為60°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：直線與圓,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：本題（Ⅰ）消去參數(shù)，可得到曲線C與直線l的普通方程，得到本題結(jié)論；（Ⅱ）將直線平移后得到直線m，當(dāng)直線m與曲線C相切時(shí)，求出公共點(diǎn)P坐標(biāo)，從而得到|PA|的最大值與最小值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=3sinθ

，
∴

cosθ= x 2 sinθ= y 3

，
∵cos²θ+sin²θ=1，
∴

x2

4

+

y2

9

=1．
∵直線l：

x=2+t y=2-2t

（t為參數(shù)），
∴t=x-2，
∴y=2-2（x-2），
即y=-2x+6．
∴曲線C與直線l的普通方程分別為：

x2

4

+

y2

9

=1，y=-2x+6．
（Ⅱ）將直線l平移得到直線m：y=-2x+b．
當(dāng)直線m與曲線C相切時(shí)，
由

x2 4 + y2 9 =1 y=-2x+b

得到：
25x²-16bx+4b²-36=0，
∴△=（-16b）²-4×25×（4b²-36）=0，
∴b=±5．
①當(dāng)b=5時(shí)，x=

8

5

，y=

9

5

，切點(diǎn)P（

8

5

，

9

5

），
P到直線l：2x+y-6=0的距離為：d=

|2× 8 5 + 9 5 -6|

22+12

=

5

5

，
過點(diǎn)P作與l夾角為60°的直線，交l于點(diǎn)A，|PA|=

d

sin60°

=

2 15

15

；
②當(dāng)b=-5時(shí)，x=-

8

5

，y=-

9

5

，點(diǎn)P（-

8

5

，-

9

5

），
P到直線l：2x+y-6=0的距離為：d=

|2×(- 8 5 )+(- 9 5 )-6|

22+12

=

11 5

5

，
過點(diǎn)P作與l夾角為60°的直線，交l于點(diǎn)A，|PA|=

d

sin60°

=

22 15

15

．
∴|PA|的最大值與最小值分別為

22 15

15

，

2 15

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了代入法消參數(shù)和公式法消參數(shù)，還考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離，本題難度適中，屬于中檔題．