Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0），e= ，其中F是橢圓的右焦點，焦距為2，直線l與橢圓C交于點A、B，點A，B的中點橫坐標為 ，且 =λ （其中λ＞1）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求實數λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，

橢圓的標準方程是 ．

（2）解：由 ，可知A，B，F三點共線，設A（x1，y1），B（x2，y2），

若直線AB⊥x軸，則x1=x2=1，不合題意．

當AB所在直線l的斜率k存在時，設方程為y=k（x﹣1）．

由 ，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①

由①的判別式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．

因為 ，

所以 = ，所以 ．

將 代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，

解得x= ．

又因為 =（1﹣x1，﹣y1）， =（x2﹣1，y2）， ，

，解得

【解析】（1）由條件可知c=1，a=2，由此能求出橢圓的標準方程．（2）由 ，可知A，B，F三點共線，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線AB⊥x軸，則x1=x2=1，不合意題意．當AB所在直線l的斜率k存在時，設方程為y=k（x﹣1）．由 ，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出實數λ的值．