Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）連接交于點，連接，由矩形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理可得，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（2）先證明，分別以，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得直線的方向向量，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求得平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

（1）連接交于點，連接，因為四邊形是矩形，所以點是的中點，

又點為的中點，所以是的中位線，所以.

因為平面，平面，

所以平面.

（2）由，，，可得，

分別以，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則有，，，，

所以，，，

設直線與平面所成角為，平面的法向量為，

則，即，令，得，

所以 .