Question

【題目】求所有的正整數，使得是一個完全平方數，且除了2或3以外，沒有其他的質因數.

Answer 1

【答案】符合條件的n值有6個，分別為64,108,288,864,1728,10368.

【解析】

設，則

.

依題意，可設

其中，均為非負整數.于是，

.

如果，則，這是不可能的.所以，中至少有一個大于0.于是，x和均為偶數.從而，均為正整數.

若，則.

顯然，只可能（否則左右兩邊被4除的余數不相同），此時，.

顯然，只能是，，此時，

，.

若，則是4的倍數.從而，也是4的倍數，故.此時

.①

顯然，、中至少有一個應為0（否則式①左右兩邊奇偶性不相同）.

（1）當，即時，

.②

此時，（否則式②左右兩邊奇偶性不相同），故.

若，則式②左邊是9的倍數，而右邊為3，矛盾.故只能.從而，式②即，它只有兩組解

和

即和

此時，對應的x值分別為24和96，相應的n值分別為864和10368.

（2）當，即時，

.③

此時，（否則式③左右兩邊奇偶性不相同），故.

若，則式③左邊是9的倍數，而右邊是3，矛盾.故.

若，則，只能，此時，，，.

若，則，它只有兩組解

和

即和.

此時，對應的x值分別為12和36，相應的n值分別為288和1728.

因此，符合條件的n值有6個，分別為64,108,288,864,1728,10368.