Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長2正三角形，側棱與底面垂直，且長為

3

，D是AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求直線₁C與平面ABB₁A₁所成角的正弦值；
（3）在線段AA₁上是否存在一點E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD，若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結DM，由已知條件推導出MD∥B₁C．由此能證明B₁C∥平面A₁BD．
（2）作CO⊥AB于O，連結B₁O，由已知條件推導出∠CB₁O為直線B₁C與平面ABB₁A₁所成的角，由此能求出直線₁C與平面ABB₁A₁所成角的正弦值．
（3）以點O為坐標原點，AB所在的直線為x軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出存在點E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD，且AE=

3

3

．

解答： （1）證明：連結DM，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，
∴四邊形AA₁B₁B是矩形，∴M為A₁B的中點．
∵D是AC的中點，∴MD是三角形AB₁C的中位線，
∴MD∥B₁C．∵MD?平面A₁BD，B₁C不包含于平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）解：作CO⊥AB于O，連結B₁O，
∵AA₁⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面AA₁B₁B，且平面ABC∩平面AA₁B₁B=AB，
∴CO⊥平面ABB₁A₁，∴∠CB₁O為直線B₁C與平面ABB₁A₁所成的角，
在直角三角形COB₁中，
∵CO=

3

，CB1=

BC2+B1B2

=

7

，
∴sin∠CB₁O=

CO

CB1

=

3

7

=

21

7

．
∴直線₁C與平面ABB₁A₁所成角的正弦值為

21

7

．
（3）解：以點O為坐標原點，AB所在的直線為x軸，
建立空間直角坐標系O-xyz如圖示：
若在線段AA₁上存在點E滿足題設，設AE=x，
則A（1，0，0），B（-1，0，0），C（0，0，

3

），A1(1，

3

，0)，
∴D（

1

2

，0，

3

2

），

BD

=（

3

2

，0，

3

2

），

BA1

=(2，

3

，0)．
設

n

=(x，y，z)是平面A₁BD的法向量，
則由

n • BD = 3 2 x+ 3 2 z=0 n • BA1 =2x+ 3 y=0

，
令x=-

3

，則y=2，z=3，
∴

n

=(-

3

，2，3)是平面A₁BD的一個法向量．
∵E（1，x，0），則

C1E

=（-1，

3

-x，

3

），

C1B1

=（-1，0，-

3

），
設平面B₁C₁E的法向量

n1

=(x1，y1，z1)，
∴

n1 • C1E =-x1+( 3 -x)y1+ 3 z1=0 n • C1B1 =-x1- 3 z1=0

，
令z1=-

3

，得

n1

=（3，-

6

3 -x

，-

3

），
又∵平面B₁C₁E⊥平面A₁BD，∴

n

•

n1

=-3

3

+

12

3 -x

-3

3

=0，解得x=

3

3

，
∴存在點E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD，且AE=

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查滿足條件的點的確定，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．