Question

【題目】現有一塊大型的廣告宣傳版面，其形狀是右圖所示的直角梯形.某廠家因產品宣傳的需要，擬投資規劃出一塊區域（圖中陰影部分）為產品做廣告，形狀為直角梯形（點在曲線段上，點在線段上）.已知， ，其中曲線段是以為頂點， 為對稱軸的拋物線的一部分.

(1)建立適當的平面直角坐標系，分別求出曲線段與線段的方程；

(2)求該廠家廣告區域的最大面積.

Answer 1

【答案】(1)直角坐標系見解析; 曲線段的方程為： ；

線段的方程為： .

(2) .

【解析】試題分析：（1）以AB為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（6，0），C（6，-12），D（0，-6）．設曲線AC的方程x2=-2py，（p＞0，0≤x≤6）．代入C坐標即可求得p，即可求出曲線段的方程，由DC兩點坐標即可求出線段的方程；

（2）設出F點橫坐標a，將廠家廣告區域的面積表示為a的函數，求出函數的最大值即可．

試題解析：（1）以直線為軸，直線為軸建立平面直角坐標系（如圖所示）.

則， ， ， ，

曲線段的方程為： ；

線段的方程為： ；

（2）設點，則需，即,

則， ， .

∴， ， ，

則廠家廣告區域的面積

，

∴，

令，得， .

∴在上是增函數，在上是減函數.

∴.

∴廠家廣告區域的面積最大值是.

點睛:本題利用已知函數模型解決實際問題，關鍵是合理建系設出點坐標即可表示出面積的表達式，利用導數研究單調性即可求出最值.