Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0．
（1）令ω=

1

2

，求函數(shù)F（x）=f（x）+f（x+π）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再往上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．對任意的a∈R，求y=g（x）在區(qū)間[a，a+10π]上零點個數(shù)的所有可能值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）當(dāng)ω=

1

2

時，利用誘導(dǎo)公式和和差角公式，可將（x）的解析式化為：F(x)=2

2

sin(

x

2

+

π

4

)，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；
（2）ω=2時，f（x）=2sin2x，利用函數(shù)圖象變化法則，求出函數(shù)y=g（x）的解析式，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得y=g（x）在區(qū)間[a，a+10π]上零點個數(shù)的所有可能值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin（ωx），當(dāng)ω=

1

2

時，

F(x)=f(x)+f(x+π)=2sin x 2 +2sin( x 2 + π 2 ) =2sin x 2 +2cos x 2 =2 2 sin( x 2 + π 4 )

由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得：
x∈[-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ]，(k∈Z)，
即得f（x）的遞增單調(diào)區(qū)間為：[-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ]，(k∈Z)，
由

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z得：
x∈[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ](k∈Z)，
即得f（x）的遞減單調(diào)區(qū)間為：[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ](k∈Z)，
（2）當(dāng)ω=2時，f（x）=2sin2x，
將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再往上平移1個單位，
可得y=g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1=2sin（2x+

π

3

）+1的圖象，
∵ω=2，
∴函數(shù)g（x）的最小正周期T=π，
由2sin（2x+

π

3

）+1=0，得sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，
∴2x+

π

3

=kπ-（-1）^k•

π

6

，k∈Z，
即x=

kπ

2

-（-1）^k•

π

12

-

π

6

，k∈Z，
區(qū)間[a，a+10π]的長度為10個周期，
若零點不在區(qū)間的端點，則每個周期有2個零點；
若零點在區(qū)間的端點，則僅在區(qū)間左或右端點處得一個區(qū)間含3個零點，其它區(qū)間仍是2個零點；
故當(dāng)a=

kπ

2

-（-1）^k•

π

12

-

π

6

，k∈Z時，21個，否則20個．

點評：本題考查的知識點是兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦型函數(shù)的單調(diào)性，周期性，函數(shù)的零點，是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．