Question

已知函數(shù)f（x）=x•（1+lnx），（x＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若k（x-2）＜f（x）對任意x≥32恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用參數(shù)分離法，將不等式k（x-2）＜f（x）對任意x≥32恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求k的取值范圍．

解答： 解：（1）因為f′（x）=lnx+2，
令f′（x）=lnx+2＞0，得x＞

1

e2

；
令f′（x）=lnx+2＜0，得0＜x＜

1

e2

；
所以f（x）的遞增區(qū)間為（

1

e2

，+∞），f（x）的遞減區(qū)間為（0，

1

e2

）．
（2）解：由（1）知，f（x）=x•（1+lnx），所以k（x-2）＜f（x）對任意x≥32恒成立，
即k＜

x+xlnx

x-2

對任意x≥32恒成立．
令g（x）=

x+xlnx

x-2

，則g′（x）=

-2lnx+x-4

(x-2)2

，
令h（x）=-2lnx+x-4，（x≥32）則h′（x）=

x-2

x

＞0在x≥32恒成立，
所以函數(shù)h（x）在x≥32上單調(diào)遞增．
因為h（32）=28-10ln2＞0，所以g′（x）＞0在x≥32恒成立
g（x）_min=g（32）=

16

15

(1+5ln2)，
∴k＜

16

15

(1+5ln2)．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法是解決不等式恒成立問題的基本方法．考查學(xué)生的運算能力．