Question

【題目】定義：對棱相等的四面體為等腰四面體.

（1）若等腰四面體的每條棱長都是，求該等腰四面體的體積；

（2）求證：等腰四面體每個面的三角形均為銳角三角形：

（3）設等腰四面體的三個側面與底面所成的角分別為，請判斷是否為定值？如果是定值，請求出該定值；如果不是定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）是定值；定值為1

【解析】

由條件，四面體的對棱相等，則可以將四面體放到長方體中去.

（1）當等腰四面體的每條棱長都是時，長方體是正方體,且正方體的棱長為，該等腰四面體的體積為正方體的體積減去4個角上的4個全等的小三棱錐的體積，則可求出答案.
（2）設長方體的長、寬、高分別為,在該四面體的每個面中，任意兩邊的平方之和都大于第三邊的平方,從而可證.
（3）過作平面交平面于點,為面與底面所成的角, ,根據題意設，面與底面所成的角分別為，同理可得：，又≌≌≌,從而可得答案.

由條件，四面體的對棱相等，則可以將四面體放到長方體中去,如圖.

(1)當等腰四面體的每條棱長都是時，長方體是正方體,且正方體的棱長為.

此時該等腰四面體的體積為正方體的體積減去4個角上的4個全等的小三棱錐的體積.

所以.

(2)設長方體的長、寬、高分別為.

則，，.

在面中，

所以為銳角.

同理：在該四面體的每個面中，任意兩邊的平方之和都大于第三邊的平方.

根據余弦定理可得，每個面中的三角形均為銳角三角形.

所以等腰四面體每個面的三角形均為銳角三角形.

(3) 的值為定值1.

過作平面交平面于點,則

過作交于,所以平面,則.

所以為面與底面所成的角,設

設面與底面所成的角分別為.

同理可得：

又≌≌≌

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