Question

【題目】已知函數,且曲線在點處的切線與軸垂直.

(I)求函數的單調區間;

(Ⅱ)若對任意(其中為自然對數的底數),都有恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調減區間為，單調增區間為.

(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由導數的幾何意義及條件可得，解得．然后由導函數大于（小于）零可得函數的單調區間．(Ⅱ)由（Ⅰ）可得，令 ，結合導數可得時，單調遞減，故．由，可得．然后再驗證當時，成立即可．本題也可分為和兩種情況分別求出的取值范圍，然后取其并集即可．

試題解析：

（Ⅰ）的定義域為，

∵，定義域為，

∴．

由題意知，解得,

∴，

由，解得；由，解得，

的單調減區間為，單調增區間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

．

法一：設，則，

令，則，

時，，故在上單調遞減，

，

時，，單調遞減，

時，，

由題意知，又

.

下面證明當時，成立，

即證成立，

令，則，

由，得在是增函數，

時，，

成立，即成立，

故正數的取值范圍是.

法二：①當時，可化為，

令，則問題轉化為證明對任意恒成立.

又，

令，得，令，得，

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減.

當時，下面驗證.

設，則.

所以在上單調遞減，

所以.即.

故此時不滿足對任意恒成立；

當時，函數在上單調遞增.

故對任意恒成立，

故符合題意.

綜合,得.

②當時，，則問題轉化為證明對任意恒成立.

又，

令得 ；令，得，

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減.

當時，在上是增函數，所以

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以只需，即

當時，在上單調遞減，則需.

因為不符合題意.

綜合可得.

由①②得正數的取值范圍是．