Question

【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí), .

（Ⅰ）求函數(shù)在上的解析式;

（Ⅱ）判斷在上的單調(diào)性;

（Ⅲ）當(dāng)取何值時(shí),方程在上有實(shí)數(shù)解?

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ） 或或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由是上的奇函數(shù),得，且設(shè),則， 即可得解；

（Ⅱ）設(shè), 則，判斷正負(fù)即可下結(jié)論；

（Ⅲ）由函數(shù)單調(diào)性求得在的值域即可.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>是上的奇函數(shù),

所以,

設(shè),則,

因?yàn)?/span>,

所以時(shí), ,

所以.

（Ⅱ）證明:設(shè),

則,

因?yàn)?/span>,

所以,

所以,

所以在上為減函數(shù).

（Ⅲ）因?yàn)?/span>在上為減函數(shù),

所以即,

同理, 上時(shí), ,

又,

所以當(dāng)或或時(shí)方程在上有實(shí)數(shù)解.

點(diǎn)睛: 證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個(gè)式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負(fù)（要注意說理的充分性），必要時(shí)要討論；（4）下結(jié)論：根據(jù)定義得出其單調(diào)性.