【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的極值點；
（Ⅱ）若直線
過點
，并且與曲線
相切，求直線的方程；
（Ⅲ）設函數
，其中
，求函數
在區間
上的最小值.（其中
為自然對數的底數）
【答案】(Ⅰ)
是函數
的極小值點，極大值點不存在. (Ⅱ)
(Ⅲ) 當
時，
的最小值為0；當1＜a＜2時，的最小值為
；
當
時，的最小值為
【解析】
試題（Ⅰ）
＞0 ………1分
而
＞0
lnx+1＞0
＞
＜0
＜00＜＜
所以在
上單調遞減，在
上單調遞增 . …………3分
所以是函數的極小值點，極大值點不存在. …………………4分
（Ⅱ）設切點坐標為
，則
切線的斜率為
所以切線
的方程為
…………5分
又切線過點
，所以有
解得
所以直線的方程為………6分
（Ⅲ）
，則
＜0
＜00＜＜
＞0
＞
所以在
上單調遞減，在
上單調遞增. ………………8分
當
即時，在
上單調遞增，所以在上的最小值為
……9分
當1＜
＜e，即1＜a＜2時，在
上單調遞減，在
上單調遞增.
在上的最小值為
………11分
當
即時，在上單調遞減，
所以在上的最小值為
……12分
綜上，當時，的最小值為0；當1＜a＜2時，的最小值為；
當時，的最小值為………14分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}的前n項和Sn滿足2an=2+Sn．
（1）求證：數列{an}是等比數列；
（2）設bn=log2a2n+1，求數列{bn}的前n項和Tn．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某城市有一條從正西方AO通過市中心O后向東北OB的公路，現要修一條地鐵L，在OA，OB上各設一站A，B，地鐵在AB部分為直線段，現要求市中心O與AB的距離為
，設地鐵在AB部分的總長度為
．
按下列要求建立關系式：
設
，將y表示成
的函數；
設
，
用m，n表示y．
把A，B兩站分別設在公路上離中心O多遠處，才能使AB最短？并求出最短距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為預防
病毒爆發，某生物技術公司研制出一種新流感疫苗，為測試該疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于
%，則認為測試沒有通過），公司選定
個流感樣本分成三組，測試結果如下表：
|
|
| |
疫苗有效 |
|
|
|
疫苗無效 |
|
|
|
已知在全體樣本中隨機抽取
個，抽到
組疫苗有效的概率是
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）現用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取
個測試結果，問應在
組抽取多少個？
（Ⅲ）已知
，
，求不能通過測試的概率．
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