Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn滿足2an=2+Sn．

（1）求證：數列{an}是等比數列；

（2）設bn=log2a2n+1，求數列{bn}的前n項和Tn．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）運用數列的遞推式和等比數列的定義，即可得證；

（2）運用等比數列的通項公式和等差數列的求和公式，計算即可得到所求和．

（1）證明：數列{an}的前n項和Sn滿足2an=2+Sn，

可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；

n≥2時，2an-1=2+Sn-1，又2an=2+Sn，

相減可得2an-2an-1=2+Sn-2-Sn-1=an，

即an=2an-1，可得數列{an}是首項、公比均為2的等比數列；

（2）由（1）可得an=2n，

bn=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，

數列{bn}的前n項和Tn=（3+2n+1）n=n2+2n．