Question

【題目】已知函數f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）≥﹣2；
（2）對任意x∈R，都有f（x）≤x﹣a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= ．

∵f（x）≥﹣2，

∴ 或 或 ，

解得1≤x≤6或﹣ ≤x＜1．

∴不等式f（x）≥﹣2的解為集為{x|﹣ ≤x≤6}．

（2）解：當x≥1時，﹣x+4≤x﹣a，即a≤2x﹣4恒成立，∴a≤﹣2；

當﹣2＜x＜1時，3x≤x﹣a，即a≤﹣2x恒成立，∴a≤﹣2；

當x≤﹣2時，x﹣4≤x﹣a，即a≤4恒成立．

∵任意x∈R，都有f（x）≤x﹣a成立，

∴a≤﹣2

【解析】（1）去絕對值符號得出f（x）的分段解析式，再各段上解不等式即可；（2）對x的范圍進行討論，分離參數得出a在各段上的最小值，即可得出a的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解不等式的證明的相關知識，掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．