Question

求值：sin6°+sin78°+sin222°+sin294°=-

1

2

．

Answer 1

分析：法一：由于正五邊形內角都是108°，其外角是72°，故各邊傾斜角大小相差72°，由此可構造邊長為1的正五邊形ABCDE，使得

AB

=（cos6°，sin6°），則依次可得

BC

=（cos78°，sin78°），

CD

=（cos150°，sin150°），

DE

=（cos222°，sin222°），

EA

=（cos294°，sin294°），再由向量加法知

AB

+

BC

+

CD

+

DE

+

EA

=

0

，由向量的坐標運算可得出sin6°+sin78°+sin222°+sin294°=-sin150°，易求出代數式的值；
法二：由題意，對四個數分為兩組，規律是兩角和的一半是150°，再由和化積公式，二倍角進行恒等變形，即可求出代數式的值

解答：解：（法一）如圖，構造邊長為1的正五邊形ABCDE，使得

AB

=（cos6°，sin6°），則依次可得

BC

=（cos78°，sin78°），

CD

=（cos150°，sin150°），

DE

=（cos222°，sin222°），

EA

=（cos294°，sin294°），
由于

AB

+

BC

+

CD

+

DE

+

EA

=

0

，
所以sin6°+sin78°+sin150°+sin222°+sin294°=0，
從而sin6°+sin78°+sin222°+sin294°=-sin150°=-

1

2

．
解2：原式=（sin6°+sin294°）+（sin78°+sin222°）=2sin150°cos144°+2sin150°cos72°=2sin150°（cos144°+cos72°）=2cos108°cos36°=-2sin18°cos36°=-

sin36°

cos18°

•cos36°=-

sin72°

2cos18°

=-

1

2

．

點評：本題考查向量在幾何中的應用，三角函數的恒等變換與化簡求值，解法一解題的關鍵是由題設條件及向量的加法幾何意義構造出正五邊形模型，此方法巧妙地利用了代數式中各角差是72°，技巧性強，考查了構造的能力及轉化的思想．解法二做題的關鍵是熟練掌握理解三角恒等變換公式，三角函數恒等變換公式較多，熟練記憶才能靈活運用．解題的難點是觀察出公式變形的方向，組合出特殊角是變形有效與否的檢驗標準．