Question

如果函數f（x）在區(qū)間D上有定義，且對任意x₁，x₂∈D，x₁≠x₂，都有，則稱函數f（x）在區(qū)間D上的“凹函數”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）對于（I）中的函數f（x）有下列性質：“若x∈[a，b]，則存在x（a，b）使得=f′（x）”成立．利用這個性質證明x唯一；
（Ⅲ）設A、B、C是函數f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（I）由凹函數的定義，研究即可；（II）由=f′（x）即證明f（x）是[a，b]上的單調增函數；（III）由A、B、C是函數f（x）圖象上三個不同的點，聯系到點的坐標，要證明△ABC是鈍角三角形，可用向量法．
解答：解：（I）函數f（x）是凹函數，證明如下：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則
=
=
=
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴∴f（x）是凹函數（5分）

證明：（II）假設x′，x∈（a，b），且x′≠x，
使得f（b）-f（a）=（b-a）f′（x），
①f（b）-f（a）=（b-a）f′（x′），②
①-②得，（b-a）f′（x）=（b-a）f′（x′），
∵b＞a，∴b-a≠0∴f′（x）=f′（x′）
∵
∴∴f′（x）是[a，b]上的單調增函數
∴x=x′，這與x′≠x矛盾，即x是唯一的．（10分）

證明：（III）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（（x₃，y₃），
且x₁＜x₂＜x₃，∵
∴f（x）是x∈R上的單調減函數∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）
∴
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0
∴ 
故△ABC為鈍角三角形．（14分）
點評：本題主要通過新函數來考查不等式的證明，通過導數來考查函數的單調性，通過三角形形狀的判斷來考查向量的坐標形式．