Question

（2011•武進區模擬）函數f(x)=

1

2

ax2-bx-lnx，a＞0，f'（1）=0．
（1）①試用含有a的式子表示b；②求f（x）的單調區間；
（2）對于函數圖象上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函數圖象上存在點P（x₀，y₀）（其中x₀在x₁與x₂之間），使得點P處的切線l∥AB，則稱AB存在“伴隨切線”，當x0=

x1+x2

2

時，又稱AB存在“中值伴隨切線”．試問：在函數f（x）的圖象上是否存在兩點A、B，使得AB存在“中值伴隨切線”？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）①先求導函數，再利用f'（1）=0，可用含有a的式子表示b；②求導函數，再利用導數大于0的函數的單調增區間，導數小于0得函數的單調減區間；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侶切線的意義結合導數工具，求出g（t）在（1，+∞）上單調遞增，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）①f′(x)=ax-b-

1

x

∵f'（1）=0，∴b=a-1．（2分）
②f′(x)=

(ax+1)(x-1)

x

∵x＞0，a＞0
∴當x＞1時f'（x）＞0，當0＜x＜1時，f'（x）＜0
∴f（x）增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）（6分）
（2）不存在   （7分）  （反證法）
若存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設0＜x₁＜x₂，
則曲線y=f（x）在x0=

x1+x2

2

的切線斜率k=f′(x0)=a•

x1+x2

2

-b-

2

x1+x2

又kAB=

y2-y1

x2-x1

=a•

x1+x2

2

-b-

lnx2-lnx1

x2-x1

∴由k=k_AB得lnx2-lnx1-

2(x2-x1)

x2+x1

=0①（11分）
令t=

x2

x1

＞1，則①化為lnt+

4

t+1

=2②
令g(t)=lnt+

4

t+1

（t＞1）
∵g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴g（t）在（1，+∞）為增函數   （15分）
又t＞1∴g（t）＞g（1）=2此與②矛盾，
∴不存在         （16分）

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的單調性，考查存在性問題，關鍵是對新定義的理解．