Question

（2009•海珠區二模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函數g（x）的單調遞減區間為(-

1

3

，1)，求函數g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數y=g（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出g（x）的導函數，令導函數小于0得到不等式的解集，得到相應方程的兩個根，將根代入，求出a的值．
（II）求出g（x）的導數在x=-1的值即曲線的切線斜率，利用點斜式求出切線的方程．
（III）求出不等式，分離出參數A，構造函數h（x），利用導數求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范圍．

解答：解：（I）g′（x）=3x²+2ax-1由題意3x²+2ax-1＜0的解集是(-

1

3

，1)
即3x²+2ax-1=0的兩根分別是-

1

3

，1．
將x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．（4分）
（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x²-2x-1，∴g′（-1）=4，
∴點p（-1，1）處的切線斜率k=g′（-1）=4，
∴函數y=g（x）的圖象在點p（-1，1）處的切線方程為：
y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．（8分）
（III）∵2f（x）≤g′（x）+2
即：2xlnx≤3x²+2ax+1對x∈（0，+∞）上恒成立
可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

對x∈（0，+∞）上恒成立
設h(x)=lnx-

3

2

x-

1

2x

，則h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍）
當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0
∴當x=1時，h（x）取得最大值-2
∴a≥-2．
∴a的取值范圍是[-2，+∞）．（13分）

點評：解決不等式恒成立問題，常用的方法是分離出參數，構造新函數，求出新函數的最值，得到參數的范圍．