Question

（2012•順義區二模）對于定義域為A的函數f（x），如果任意的x₁，x₂∈A，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）＜f（x₂），則稱函數f（x）是A上的嚴格增函數；函數f（k）是定義在N^*上，函數值也在N^*中的嚴格增函數，并且滿足條件f（f（k））=3k．
（Ⅰ）判斷函數f（3^x）=2×3^x（x∈N）是否是N上的嚴格增函數；
（Ⅱ）證明：f（3k）=3f（k）；
（Ⅲ）是否存在正整數k，使得f（k）=2012，若存在求出k值；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）定義法：設任意的x₁，x₂∈N，當x₁＜x₂時，通過作差判斷f（3x1）與f（3x2）的大小關系，根據嚴格增函數的定義可作出判斷；
（Ⅱ）由f（f（k））=3k，得f[f（f（k））]=f（3k）①，再由f（f（k））=3k，得f[f（f（k））]=3f（k）②，聯立①②可得結論．
（Ⅲ）先證明：f（3^k-1）=2×3^k-1（k∈N*），由此可知存在p=3^k-1+1，當p個連續自然數從3^k-1→2×3^k-1時，函數值正好也是p個連續自然數從f（3^k-1）=2×3^k-1→f（2×3^k-1）=3^k，據此可得結論．

解答：（Ⅰ）解：設任意的x₁，x₂∈N，當x₁＜x₂時，有3x1＜3x2，則3x1-3x2＜0，
∴f（3x1）-f（3x2）=2•3x1-2•3x2=2（3x1-3x2 ）＜0，
∴函數f（3^x）=2×3^x（x∈N）是N上的嚴格增函數．
（Ⅱ）證明：∵對k∈N^*，f（f（k））=3k，
∴f[f（f（k））]=f（3k）①，
由已知f（f（k））=3k，得f[f（f（k））]=3f（k）②，
由①、②得f（3k）=3f（k），
故f（3k）=3f（k）；
（Ⅲ）先證明：f（3^k-1）=2×3^k-1（k∈N*）．
若f（1）=1，由已知f（f（k））=3k得f（1）=3，矛盾；
設f（1）=a＞1，∴f（f（1））=f（a）=3，③
由f（k）嚴格遞增，即1＜a⇒f（1）＜f（a）=3，得

f(1)≠1 f(1)＜3 f(1)∈N*

，
∴f（1）=2，
由③f（f（1））=f（a）=3，得f（f（1））=f（2）=3，
∴f（1）=2，f（2）=3，f（3）=3f（1）=6，f（6）=f（3•2）=3f（2）=9，f（9）=3f（3）=18，f（18）=3f（6）=27，f（27）=3f（9）=54，f（54）=3f（18）=81，…
依此類推歸納猜出：f（3^k-1）=2×3^k-1（k∈N*）．
下面用數學歸納法證明：
（1）當k=1時，顯然成立；
（2）假設當k=l（l≥1）時成立，即f（3^l-1）=2×3^l-1，
那么當k=l+1時，f（3^l）=f（3×3^l-1）=3f（3^l-1）=3×2×3^l-1=2•3^l．猜想成立，
由（1）、（2）所證可知，對k∈N^*f（3^k-1）=2×3^k-1成立．
∵f（3^k-1）=2×3^k-1（k∈N*），且f（x）是嚴格單調增函數，
∴存在p=3^k-1+1，當p個連續自然數從3^k-1→2×3^k-1時，函數值正好也是p個連續自然數從f（3^k-1）=2×3^k-1→f（2×3^k-1）=3^k．
而2×3^7-1＜2012＜3⁷，即f（3^7-1）＜2012＜f（2×3^7-1），
∴必存在k，滿足3^7-1＜k＜2×3^7-1，使得f（k）=2012．

點評：本題考查函數的單調性、函數恒成立問題，考查學生分析問題解決問題的能力，綜合性較強，難度較大，對能力要求極高．