Question

【題目】如圖一，在直角梯形中，分別為的三等分點，, ，，，若沿著折疊使得點和重合，如圖二所示，連結.

（1）求證：平面平面；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

取的中點分別為，連結,,可得四邊形為平行四邊形,則,由,利用面面垂直的性質和線面垂直的性質及判定即可得證.

由,把點到平面的距離轉化為點到平面的距離,利用等體積法,通過代數運算間接求出點到平面的距離即可.

（1）證明:取的中點分別為，連結,如圖，

則且，

又因為且，

所以且，

故四邊形為平行四邊形，

所以.

因為為中點，三角形為等邊三角形，

所以，

因為平面平面,平面平面,

故平面，因為，

所以平面，

又因為平面,

故平面平面；

（2）因為，

又因為平面,平面,

故平面，

故點到平面的距離等于點到平面的距離.

由（1）知三棱錐的體積，

，，

故,

在中，，

取中點，連結，

則，

故，

設點至平面的距離為，

所以三棱錐的體積，

由于，則，即，

故點到平面的距離為.