Question

【題目】立德中學和樹人中學各派一名學生組成一個聯隊參加一項智力競賽，這個智力競賽一共兩輪，在每一輪中，兩名同學各回答一次題目，已知，立德中學派出的學生每輪中答對問題的概率都是，樹人中學派出的學生每輪中答對問題的概率都是；每輪中，兩位同學答對與否互不影響，各論結果亦互不影響，求：

（Ⅰ）兩輪比賽后，立德中學的學生恰比樹人中學的學生答對題目的個數多個的概率；

（Ⅱ）兩輪比賽后，記為這兩名同學一共答對的題目數，求隨機變量的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）立德中學的學生恰比樹人中學的學生答對題目的個數多個，有二種情況：

一種情況是，立德中學的學生答對一道，樹人中學的學生一道也沒答對；

另一種情況是，立德中學的學生答對二道，樹人中學的學生答對一道，求出這兩個事件的概率，最后利用和事件的概率公式求出本問題；

（Ⅱ）由題意可知: ,求出相應概率，列出分布列，計算出數學期望.

（Ⅰ）設事件為立德中學的學生答對一道，樹人中學的學生一道也沒答對,設事件

為立德中學的學生答對二道，樹人中學的學生答對一道，設事件為兩輪比賽后，立德中學的學生恰比樹人中學的學生答對題目的個數多個,

所以,

因此;

（Ⅱ）由題意可知:

,

,

隨機變量的分布列為下表：

	0	1	2	3	4

所以