Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）求函數的零點個數；

（Ⅱ）證明： 是函數存在最小值的充分而不必要條件.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對函數求導有 ，令，求出根，得到 的零點個數，注意分情況討論；（Ⅱ）根據（Ⅰ）的分類討論，分別利用導數與函數最值的關系以及充分不必要條件的定義即可證明.

試題解析：

（Ⅰ）由，

得

令，得，或.

所以當時，函數有且只有一個零點： ；當時，函數有兩個相異的零點： ， .

（Ⅱ）①當時， 恒成立，此時函數在上單調遞減，

所以，函數無極值.

②當時， ， 的變化情況如下表：

所以， 時， 的極小值為.

又時， ，

所以，當時， 恒成立.

所以， 為的最小值.

故是函數存在最小值的充分條件.

③當時， ， 的變化情況如下表：

因為當時， ，

又，

所以，當時，函數也存在最小值.

所以， 不是函數存在最小值的必要條件.

綜上， 是函數存在最小值的充分而不必要條件.

點睛; 本題注意考查了導數與函數的極值、最值的關系，屬于中檔題. 涉及的考點有：用導數研究函數的極值、最值，充分不必要條件的判斷，根的存在及個數判斷. 考查了學生分析問題和轉化的能力以及分類討論思想.