Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，原點為，橢圓的動弦過焦點且不垂直于坐標軸，弦的中點為，過且垂直于線段的直線交射線于點．

（1）證明：點在定直線上；

（2）當最大時，求的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】試題分析：（1）設所在直線為，聯立方程組，得到，進而得到所在直線方程，再聯立方程組，即可得到頂點的坐標．

（2）由（1）得點的坐標為，求得向量則，利用向量的夾角公式，求解的最小值，得到此時，求得，即可求得三角形的面積．

試題解析：

（1）顯然橢圓的右焦點的坐標為，

設所在直線為：，且．

聯立方程組：，得：；

其中，

點的坐標為所在直線方程為：．

所在的直線方程為：，

聯立方程組：，得，

故點在定直線上；

（2）由（1）得：由得點的坐標為，且，

則，

，

（當且僅當不等式取等號），

若取得最小值時，最大，此時；

；

；

．