Question

【題目】某社區為了解轄區住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”，從轄區住戶的離退休老人中隨機抽取了100位老人進行調查，獲得了每人每天的平均戶外“活動時間”（單位：小時），活動時間按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]從少到多分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示．

（Ⅰ）求圖中a的值；

（Ⅱ）估計該社區住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”的中位數；

（III）在[1.5，2）、[2，2.5）這兩組中采用分層抽樣抽取9人，再從這9人中隨機抽取2人，求抽取的兩人恰好都在同一個組的概率．

Answer 1

【答案】（1）a=0.40（2）2.06（3）

【解析】

（I）由頻率和為1列方程求出a的值；
（II）利用中位數兩邊頻率相等求出中位數的大小；
（III）采用分層抽樣求出兩組抽取的人數，再利用基本事件計算所求的概率值．

（I）解：由頻率分布直方圖，可知，轄區住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”在[0，0.5）的頻率為0.08×0.5=0.04．

同理，在[0.5，1），[1,1.5），[1.5，2）[2，2.5），[2.5，3）[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]的頻率分別為0.08，0.15，0.5a，0.25，0.15，0.07，0.04，0.02

由

解得a=0.40．

（II）解：設“活動時間”的中位數為m小時．

因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，

而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20=0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5．

由0.50×（m2）=0.50.47，解得m=2.06．

所以估計該社區住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”的中位數為2.06小時．

（III）解：由題意得平均戶外活動時間在[1.5，2），[2，2.5）中的人數分別有20人、25人，按分層抽樣的方法分別抽取4人、5人，記作A，B，C，D及a，b，c，d，e從9人中隨機抽取2人，共有36種，分別為：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（A，e），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（B，e），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（C，d），（C，e），（D，a），（D，b），（D，c），（D，d），（D，e），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）

在同一組的有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d）（c，e），（d，e）．共16種，故抽取的兩人恰好都在同一個組的概率．