Question

【題目】如圖所示，M、N、P分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的點.

(1)若，求證：無論點P在DD1上如何移動，總有BP⊥MN；

(2)棱DD1上是否存在這樣的點P，使得平面APC1⊥平面ACC1？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（1）存在點P，證明見解析；

【解析】解：（1）證明：連AC，BD，在△ABC中，

∵＝，∴MN∥AC.

又∵AC⊥BD，DD1⊥底面ABCD.

∴DD1⊥AC，故AC⊥平面BDD1B1.

進而MN⊥平面BDD1B1，

∵BP面BDD1B1，

∴MN⊥BP.

（2）假設存在點P，使面APC1⊥面ACC1，過P作PF⊥AC1，則PF⊥面ACC1.

又∵BD⊥面ACC1，∴PF∥BD，而兩平行線PF、BD所確定的平面即為兩相交直線BD、DD1確定的對角面BB1D1D，

∴F為AC1與對角面BB1D1D的交點，

故F為AC1的中點，由PF∥BD，P∈DD1知，P也是DD1的中點．

顯然，當P為DD1中點，F為AC1中點時，

∵AP＝PC1，∴PF⊥AC1

又PF∥BD，BD⊥AC，∴PF⊥AC.

從而PF⊥面ACC1，則面APC1⊥面ACC1.

故存在點P，使P為DD1中點時，面APC1⊥面ACC1.