【題目】已知橢圓
的長軸長為6，且橢圓
與圓
的公共弦長為
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點P（0，1）作斜率為
的直線
與橢圓交于兩點
，
，試判斷在
軸上是否存在點
，使得
為以
為底邊的等腰三角形，若存在，求出點的橫坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）根據長軸長為6便可直接求出a的大小，然后因為橢圓和已知圓均關于x軸對稱，便可得到交點坐標，然后利用待定系數法即可得到橢圓方程。
（2）設直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式，求得AB中點M的坐標，利用
即可求得m的表達式，利用基本不等式性質，即可求得m的取值范圍。
（1）由題意可得
，所以
．
由橢圓
與圓
：
的公共弦長為
，恰為圓的直徑，
可得橢圓經過點
，所以
，解得
．
所以橢圓的方程為
．
（2）直線
的解析式為
，設
，
，
的中點為
．假設存在點
，使得
為以為底邊的等腰三角形，則
．由
得
，
故
，所以
，
．
因為，所以
，即
，
所以
．
當
時，
，所以
．
綜上所述，在
軸上存在滿足題目條件的點
，且點的橫坐標的取值范圍為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對定義在[0，1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數f（x）稱為G函數．
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②當x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函數g（x）=x2與h（x）=2x﹣b是定義在[0，1]上的函數．
（1）試問函數g（x）是否為G函數？并說明理由；
（2）若函數h（x）是G函數，求實數b組成的集合．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學對高三年級的學生進行體質測試，已知高三、一班共有學生30人，測試立定跳遠的成績用莖葉圖表示如下（單位：
）：
|
|
| 男 |
| 女 |
|
|
|
|
|
7 | 16 | 5 | 7 | 8 | 9 | 9 | ||||
9 | 8 | 17 | 1 | 8 | 4 | 5 | 2 | 9 | ||
3 | 5 | 6 | 18 | 0 | 2 | 7 | 5 | 4 | ||
1 | 2 | 4 | 19 | 0 | 1 | |||||
1 8 5 | 20 21 22 |
男生成績不低于
的定義為“合格”，成績低于的定義為“不合格”；女生成績不低于
的定義為“合格”，成績低于的定義為“不合格”.
(1) 求女生立定跳遠成績的中位數；
(2) 若在男生中按成績是否合格進行分層抽樣，抽取6個人，求抽取成績“合格”的男生人數；
(3) 若從(2)問所抽取的6人中任選2人，求這2人中恰有1人成績“合格”的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某家庭記錄了未使用節水龍頭50天的日用水量數據（單位：m3）和使用了節水龍頭50天的日用水量數據，得到頻數分布表如下：
未使用節水龍頭50天的日用水量頻數分布表
日用 水量 |
|
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|
|
|
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|
頻數 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了節水龍頭50天的日用水量頻數分布表
日用 水量 |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
（1）在答題卡上作出使用了節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖：
（2）估計該家庭使用節水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率；
（3）估計該家庭使用節水龍頭后，一年能節省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表．）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直線
與
軸，
軸分別相交于點B、C，經過B、C兩點的拋物線
與軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸為直線
.
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）連結AC.請問在軸上是否存在點Q，使得以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC 相似，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 已知曲線的極坐標方程為
，直線 的參數方程為
(
為參數)．
（I）分別求曲線
的直角坐標方程和直線
的普通方程；
（II）設曲線和直線相交于
兩點，求弦長
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某學校擬建一塊五邊形區域的“讀書角”，三角形區域ABE為書籍擺放區，沿著AB、AE處擺放折線形書架（書架寬度不計），四邊形區域為BCDE為閱讀區，若∠BAE＝60°，∠BCD＝∠CDE＝120°，DE＝3BC＝3CD＝
m．
（1）求兩區域邊界BE的長度；
（2）若區域ABE為銳角三角形，求書架總長度AB+AE的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，x∈（b﹣3，2b）是奇函數，
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）是區間（b﹣3，2b）上的減函數且f（m﹣1）+f（2m+1）＞0，求實數m的取值范圍．
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