Question

【題目】如圖，某學(xué)校擬建一塊五邊形區(qū)域的“讀書(shū)角”，三角形區(qū)域ABE為書(shū)籍?dāng)[放區(qū)，沿著AB、AE處擺放折線形書(shū)架（書(shū)架寬度不計(jì)），四邊形區(qū)域?yàn)?/span>BCDE為閱讀區(qū)，若∠BAE＝60°，∠BCD＝∠CDE＝120°，DE＝3BC＝3CD＝m．

（1）求兩區(qū)域邊界BE的長(zhǎng)度；

（2）若區(qū)域ABE為銳角三角形，求書(shū)架總長(zhǎng)度AB+AE的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）連接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求∠CDB＝∠CBD＝30°，∠CDE＝120°，可得∠BDE＝90°，利用勾股定理即可得解BE的值；（2）設(shè)∠ABE＝α，由正弦定理，可得AB＝4sin（120°﹣α），AE＝4sinα，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得AB+AE＝12sin（α+30°），結(jié)合范圍60°＜α+30°＜120°，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求AB+AE的最大值，從而得解．

⑴連接BD，在△BDC中，，∠BCD=120°，

由余弦定理,

得，得

又BC=CD，∠BCD=120°，

，.

△ABE中，BD=3，，由勾股定理.

故.

⑵設(shè)，

則,

在△ABE中，

由正弦定理.

，，

故

=

，

△ABE為銳角三角形，

故，，

，

所以暑假的總長(zhǎng)度AB+AE的取值范圍是，