Question

【題目】某市政府為了引導居民合理用水，決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價：若用水量不超過12噸時，按4元/噸計算水費；若用水量超過12噸且不超過14噸時，超過12噸部分按6.60元/噸計算水費；若用水量超過14噸時，超過14噸部分按7.8元/噸計算水費．為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數據按照分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）假設用抽到的100戶居民月用水量作為樣本估計全市的居民用水情況．

（ⅰ）現從全市居民中依次隨機抽取5戶，求這5戶居民恰好3戶居民的月用水量都超過12噸的概率；

（ⅱ）試估計全市居民用水價格的期望（精確到0.01）；

（Ⅱ）如圖2是該市居民李某2016年1～6月份的月用水費（元）與月份的散點圖，其擬合的線性回歸方程是．若李某2016年1～7月份水費總支出為294.6元，試估計李某7月份的用水噸數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）（ⅱ）（Ⅱ）李某7月份的用水噸數約為13噸

【解析】試題分析：

（i）由二項分布的概率公式可得概率為；

（ii）列出分布列，然后求得其屬性期望值為噸；

（II）利用題意求得回歸方程，然后結合題意可求得李某7月份的用水噸數為13噸.

試題解析：

解：（Ⅰ）（ⅰ）由題意，從全市居民中依次隨機抽取5戶，每戶居民月用水量超過12噸的概率為，因此這5戶居民恰好3戶居民的月用水量都超過12噸的概率為

．

（ⅱ）由題設條件及月均用水量的頻率分布直方圖，可得居民每月的水費數據分組與概率分布表如下：

月用水量（噸）
價格 (元/噸)	4	4.20	4.60
概率	0.9	0.06	0.04

所以全市居民用水價格的期望噸．

（Ⅱ）設李某2016年1～6月份的月用水費（元）與月份的對應點為，它們的平均值分別為，則，又點在直線上，所以，因此，所以7月份的水費為元．

設居民月用水量為噸，相應的水費為元，則

，即：

當時， ，

所以李某7月份的用水噸數約為13噸．