Question

【題目】如圖，在等腰梯形中， ，上底，下底，點為下底的中點，現將該梯形中的三角形沿線段折起，形成四棱錐.

（1）在四棱錐中，求證： ；

（2）若平面與平面所成二面角的平面角為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）由， ， ，點為的中點，得三角形沿線段折起后可得四邊形為菱形，邊長為， ，取的中點，連接， ， ，可證， ，即可證平面，從而平面，即可得證；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，由（1）可證為平面與平面所成二面角的平面角，從而求出， ， ， ，再求出平面的一個法向量，即可求出直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）證明：由三角形沿線段折起前， ， ， ，點為的中點，得三角形沿線段折起后，四邊形為菱形，邊長為， ，如圖，

取的中點，連接， ， ，

∵由題得和均為正三角形，

∴， ，

又

∴平面，

∵∥

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）解：以為坐標原點，建立如圖的空間直角坐標系，

由平面，有軸在平面內，

在（1）中，∵， ，

∴為平面與平面所成二面角的平面角，

∴，

而，∴且，

得點的橫坐標為，點的豎坐標為，

則， ， ， ，

故， ， ，

設平面的一個法向量為，

∴得

令，得， ，∴平面的一個法向量為，

∴ ，

∵直線與平面所成角為銳角或直角，

∴直線與平面所成角的正弦值為．