Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線，以平面直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線.

（1）將曲線上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的倍、2倍后得到曲線.試寫出直線的直角坐標方程和曲線的參數方程；

（2）在曲線上求一點，使點到直線的距離最大，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】(1)直線的直角坐標方程為： .曲線的參數方程為（為參數）.(2)點，此時.

【解析】試題分析：（1）利用，可得直線的直角坐標方程為： ，利用 ，可得曲線的直角坐標方程為： ，進而可得曲線的參數方程；（2）根據曲線的直角坐標方程，設點的坐標，則點到直線的距離為，利用輔助角公式及三角函數的有界性可得結果.

試題解析：（1）由題意知，直線的直角坐標方程為： .

曲線的直角坐標方程為： ，

∴曲線的參數方程為（為參數）.

（2）設點的坐標，則點到直線的距離為：

，

∴當， 時，點，

此時.